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例談二次函數綜合題的解題策略

初中數學考試最好看看,可能會滿分

例談二次函數綜合題的解題策略

□ 孫朝仁 朱松林

二次函數既是中考的重點內容,也是熱點問題.而二次函數綜合題在各級各類考試中都屬于難度較大的問題,要求同學們不但對于二次函數本身的內容掌握要牢固,而且還要善于將二次函數和其他的有關知識(方程、不等式以及幾何等知識)“攀親”,搞好關系,這樣問題的綜合層次和要求都比較高 .解決這類問題的關鍵就是要“沉得住氣”,認真仔細地將題目中所提供的信息進行加工梳理,有條不紊地進行“抽絲剝繭”,最終解決問題 .下面略舉幾例,談談二次函數綜合題的常見的解題策略 .

一、得意知“形”,由“形”想“數”

例1 已知函數y=x2+bx+2的圖象經過點(3,2).

(1)求這個函數的關系式;

(2)畫出它的圖象;

(3)根據圖象指出:當x取何值時,y≥2? 分析 首先,利用待定系數法,可以求出b的值,

從而獲得函數表達式;其次,根據函數關系式不難知“形”—— 用描特殊點法畫出函數圖象;第三,借助函數圖象,由“形”想 “數”,要“確定y≥2時,x的取值范圍”就是要求位于“直線 y=2上方”圖象的自變量取值范圍.

解 (1)根據題意,得 2=9+3b+2,

解得 b=-3.

∴函數關系式為y=x-3x+2.

(2)易求該拋物線與x軸的兩個交點坐標為(1,0)、(2,0),與y軸的交點坐標

為(0,2),對稱軸為x

32

2

圖1

.函數y=x2-3x+2的圖象如圖1所示.

(3)根據圖象可得,當y=2時,對應的x的值為0和3 .因此,當x≤0或x≥3時,

y≥2.

評析 充分利用函數圖象的直觀性,分析解決問題是體現“數形結合”思想一個重要方面.本題還可以直接指出“當x取何值時,y≤2?”以及根據圖象寫出“不等式x2-3x+2≤0的解集”,這兩個問題,請同學們自行寫出.

二、函數與方程“攀親”,由方程求函數

例2 如圖2,一元二次方程x 2x 3 0的兩根x1,x2(x1<x2)是拋物線

y ax

2

2

bx c(a 0)與x軸的兩個交點B,C的橫坐標,且此拋物線過點A(3,6).

(1)求此二次函數的解析式;

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